1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

2. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
3. PROGRAMACIÓN LINEAL
4. MODELOS DE LINEA DE ESPERA
5. PROCESOS DE MARKOV
4. MODELOS DE LINEA DE ESPERA

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Se han elaborado modelos para ayudar a los administradores a entender y tomar mejores decisiones sobre la operación de las líneas de espera. En la terminología de los métodos cuantitativos, una línea de espera también se conoce como cola y el cuerpo de conocimiento que tiene que ver con las líneas de espera se conoce como teoría de las colas o simplemente teoría de colas.

Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola.

Las características operativas de interés incluyen las siguientes:
1. Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema
2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera
3. Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo)
4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera
5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio)
6. Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LINEA DE ESPERA

Para ilustrar las características básicas de un modelo de línea de espera, consideramos la cola en el Burger Dome, que vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, así como un número limitado de artículos de especialidad y postres. Aunque a Burger Dome le gustaría servir inmediatamente a cada cliente, a veces llegan más comensales de los que puede manejar el personal de Burger Dome, por tanto, los clientes esperan en línea para hacer sus pedidos y recibir sus alimentos.

A Burger Dome le preocupa que los métodos que se usan actualmente para servir a los clientes dan como resultado tiempos de espera excesivos. La administración desea realizar un estudio con el fin de ayudar a determinar el mejor enfoque para producir los tiempos de espera y mejorar el servicio.

Línea de espera de un solo canal:
Cada cliente que entra al restaurante de Burger Dome debe pasar por un canal, una estación para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan más clientes forman una línea de espera y aguardan que se desocupe la estación para tomar y surtir el pedido.

Distribución de llegadas:
Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad de poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas.
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Distribución de tiempos de servicio:
El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez el servicio ha iniciado.
Se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t.
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Disciplina en la línea de espera:

Al describir un sistema de línea de espera debemos definir la manera en que las unidades que esperan el servicio se ordenan para recibirlo.
En general para la mayoría de las líneas de espera orientadas al cliente, las unidades que esperan servicio se acomodan según el principio el primero que llega, el primero al que se sirve; este enfoque se conoce como disciplina de línea de espera o disciplina de cola FCFS (first-come, first served).

Sin embargo algunas situaciones exigen disciplinas de cola diferentes:
El primero que llega, primero al que se le sirve
Último en entrar, primero en salir
Atención primero a la prioridad más alta
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Operación de estado estable:

Generalmente la actividad se incrementa gradualmente hasta un estado normal o estable. El período de comienzo o principio se conoce como período transitorio, mismo que termina cuando el sistema alcanza la operación de estado estable o normal.
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MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

Frecuentemente, los modelos de línea de espera se basan en suposiciones como las llegadas de Poisson y los tiempos de servicio exponenciales. Cuando se aplica cualquier modelo de línea de espera, deben recolectarse datos sobre el sistema real para asegurar que las suposiciones del modelo son razonables.

Características operativas:

A continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal.
El objetivo de las fórmulas es mostrar cómo se puede dar información acerca de las características operativas de la línea de espera.
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Cómo usan los administradores los modelos de línea de espera:

Los resultados de la línea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varias cosas importantes sobre su operación. En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de comenzar a colocar un pedido, lo cual parece un poco largo para un negocio basado en el servicio rápido. Además los hechos de que la cantidad promedio de clientes que esperan en la línea es de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan son indicadores de que debería hacerse algo para mejorar la operación.

Mejora de la operación de la línea de espera
Después de revisar las características operativas proporcionadas por el modelo de línea de espera, la administración de Burger Dome concluyó que es deseable diseñar mejoras que reduzcan los tiempos de espera; para ello, a menudo los analistas se centran en formas de mejorar la tasa de servicio. Por lo general, las mejoras en la tasa de servicio se obtienen realizando los siguientes cambios de manera individual o conjuntamente.
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MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON CANALES MÚLTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
Consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas.
A continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para líneas de espera con múltiples canales. Estas formulas son aplicables si existen las siguientes condiciones.
1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.
2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial.
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ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA

Antes de que pueda llevarse a cabo un análisis económico de una línea de espera, debe elaborarse un modelo de costo total, el cual incluye el costo de esperar y el costo de servicio.
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Para realizar un análisis económico de una línea de espera debemos obtener estimaciones razonables del costo de esperar y el costo de servicio. En el problema de Burger Dome, el costo de esperar sería el costo por minuto para un cliente que espera por servicio. Este costo no es un costo directo para Burger Dome; sin embargo, si Burger Dome lo ignora y permite líneas de espera largas, los clientes comerán en otra parte. Por tanto Burger Dome experimentará pérdida en ventas y en efecto, incurrirá en un costo.
Generalmente es más fácil determinar el costo del servicio. Este es el costo relevante asociado con la operación de cada canal de servicio; en el problema de Burger Dome, incluiría los salario y prestaciones del empleado y cualquier otro costo directo asociado con la operación del canal de servicio. En Burger Dome este costo se estima en $7 por hora. Suponemos que Burger Dome está dispuesto a asignar un costo de $10 por hora para el tiempo de espera del cliente. Usamos la cantidad promedio en el sistema, L.

Substituyendo fórmula
Sistema de un solo canal (L=3 clientes)
TC= 10 (3) + 7 (1) = $37.00 por hora

Sistema de dos canales (L=0.8727 clientes)
TC= 10 (0.8727) + 7 (2)= $22.73 por hora

Por tanto, con base en los datos de costo proporcionados por Burger Dome, el sistema de dos canales proporciona la operación más económica.

La forma general de las curvas de costo en el análisis económico de las líneas de espera consiste en que el costo del servicio aumenta conforme aumenta la cantidad de canales; pero con más canales, el servicio es mejor. Como resultado, el tiempo de espera y el costo disminuyen conforme se aumenta la cantidad de canales. Puede encontrarse la cantidad de canales que proporcionará una buena aproximación al diseño de costo total mínimo evaluando el costo total para varias alternativas de diseño.
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